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今天讲一下倍增

目录

题目：忠诚

思路：

题目：国旗计划

 思路： 

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查询迭代类倍增：

    本质是一个一个选区间使总长度达到 M,类似凑一个数。而我们会经常用不大于它最大的二的次幂，减去之后，再重复这个过程，这样这个数的值会减小得非常快，一共只需要减 log(num) 次就可以凑出。

     

题目：忠诚

     

思路：

       

很明显是一道区间最值的问题：也就是著名的RMQ（Range Minimum/Maximum Query）区间最值查询问题（最好会背啊！）

      

首先设置f[i][j]表示从下标i走2*j长度之间的最值，然后依此创建ST表，最后RMQ查询ST表即可

    

      

#include<bits/stdc++.h>            
using namespace std;
#define maxn 100005
int n,m,l,r,a[maxn],f[maxn][22]; //f[i][j](ST表)表示从下标i走2*j长度之间的最值
int RMQ(int l,int r)//RMQ（Range Minimum/Maximum Query）区间最值查询
{int k=log2(r-l+1);return min(f[l][k],f[r-(1<<k)+1][k]);
}
void ST_create(){//创建ST表for(int i=1;i<=n;i++)	f[i][0]=a[i];//初始化int k=log2(n);for(int j=1;j<=k;j++){//(0已经初始化过了) j是二进制大小for(int i=1;i<=n-(1<<j)+1;i++){//对每个点遍历 ，n要减去j的枚举范围：n-2^j+1f[i][j]=min(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);//递推公式}}
}
int main()
{scanf("%d%d",&n,&m);//账数和问题数for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);ST_create();for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d",&l,&r);printf("%d ",RMQ(l,r));}return 0;
}

      

     

题目：国旗计划

    

思路： 

  求f[i][0]：即每个区间后选的第一个区间。肯定不能两重循环，那时间复杂度就再次变为 O(N^2)，这个时候利用题目中提到的一个性质：
“每名边防战士的奔袭区间都不会被其他边防战士的奔袭区间所包含 ”
则对于单调递增l的， r也单调递增，我们只需要找到满足j.l<=r.i 的最后一个区间即可，因此使用双指针，时间复杂度降为 O(N)。
 

#include<bits/stdc++.h>           //国旗计划（环形线段覆盖）（注意线段不会包含）
using namespace std;
#define ll long long
const int N=2e5+10;
int n,m,ans[N];
int st[20][N<<1],s[20][N<<1];//st[i][j]表示从j点为起点的进行2^i次迭代的起点的下标（自身不算）
struct segment{int l,r,id;inline friend bool operator<(const segment &a,const segment &b){return a.l<b.l; //因为线段不会包含，所以l越大自然r越大，即l单增则r单增 ！！！}
}a[N<<1]; //把环表转换成两倍周长的线性表
void ST_create(){for(int i=1,j=1;i<=2*n;i++){while(j<=2*n&&a[j].l<=a[i].r)  j++;//寻找下一个起点st[0][i]=j-1; //初始化}for(int i=1;i<=19;i++) //i是二进制大小for(int j=1;j<=2*n;j++) //j是对每个点遍历st[i][j]=st[i-1][st[i-1][j]];//状态转移方程
}
void search(){for(int i=1;i<=n;i++){  int up=a[i].l+m,an=0,p=i;//对每个点拆环范围为链范围for(int j=19;j>=0;j--)if(st[j][p]&&a[st[j][p]].r<up)  //逼近过程an+=1<<j,p=st[j][p]; //从下一个点开始逼近ans[a[i].id]=an+2;//因为本来就没算本身，然后也不算入终点，所以加2}
}
int main(){cin>>n>>m; int l,r; //n是边防战士数，m是边防站数for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d %d",&l,&r);if(l>r) r+=m;//破环成链（对战士的覆盖范围）a[i].l=l,a[i].r=r,a[i].id=i;//每个战士的编号}sort(a+1,a+n+1); //方便初始时找下一个转移点for(int i=1;i<=n;i++) {a[i+n].l=a[i].l+m,a[i+n].r=a[i].r+m; //破环成链（对链边界上每个边防站士都再点缀一下）}ST_create(); //创建ST表search();	//对每个点进行查询for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",ans[i]);return 0;
}

 可以总结一下倍增使用的场合：
1.（最值类）RMQ区间最值
2.（迭代类）同一件事完成多次。且当“一次做一件事”可以优化为“一次做多件事”。（快速幂也是这个道理）
双指针扫描的应用：
两个指针代表的内容均只增不减