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特殊教育学校网站建设方案,app推广实名认证接单平台,网页设计学什么软件,淘宝的网站建设怎么建本文主要内容包括:1. 物质积分2. 曲线上物质积分的时间变化率3. 曲面上物质积分的时间变化率4. 体积域上物质积分的时间变化率 (Reynolds 输运定理)1. 物质积分 考虑 t0t_0t0​ 时刻参考构型中由物质点 X⃗\vec{X}X所形成的 物质曲线 ct0c_{t_0}ct0​​、物质曲面 …

本文主要内容包括:

  • 1. 物质积分
  • 2. 曲线上物质积分的时间变化率
  • 3. 曲面上物质积分的时间变化率
  • 4. 体积域上物质积分的时间变化率 (Reynolds 输运定理)

1. 物质积分

考虑 t0t_0t0 时刻参考构型中由物质点 X⃗\vec{X}X 所形成的 物质曲线 ct0c_{t_0}ct0、物质曲面 St0S_{t_0}St0、物质体积 vt0v_{t_0}vt0,在 ttt 时刻它们分别演化为曲线 ctc_{t}ct、曲面 StS_{t}St、体积 vtv_{t}vt考虑任意一个连续可微的张量场 Φ(x⃗,t)\bold\Phi(\vec{x},t)Φ(x,t) 分别在曲线 ctc_{t}ct、曲面 StS_{t}St、体积 vtv_{t}vt上的积分,由于积分区域始终由相同的物质点构成,故称上述类型的积分为 物质积分

2. 曲线上物质积分的时间变化率

曲线 ctc_tct 的参数方程为:x⃗=x⃗(X⃗(s),t),s∈[s0,s1]\vec{x}=\vec x(\vec{X}(s),t),s\in[s_0,s_1]x=x(X(s),t)s[s0,s1]
DDt(∫ctΦ⋅dx⃗)=∫ctDDt(Φ⋅dx⃗)=∫ct(Φ∙+Φ⋅L)⋅dx⃗\dfrac{D}{Dt}\left(\int_{c_t}\bold\Phi\cdot d\vec{x}\right) =\int_{c_t}\dfrac{D}{Dt}\left(\bold\Phi\cdot d\vec{x}\right) =\int_{c_t}\left(\overset{\bullet}{\bold\Phi}+\bold\Phi\cdot\bold L\right)\cdot d\vec{x}DtD(ctΦdx)=ctDtD(Φdx)=ct(Φ+ΦL)dx
特别地,取张量场为速度场 v⃗(x⃗,t)\vec{v}(\vec x,t)v(x,t),则有:
DDt(∫ctv⃗⋅dx⃗)=∫ct(v⃗∙+v⃗⋅L)⋅dx⃗\dfrac{D}{Dt}\left(\int_{c_t}\vec{v}\cdot d\vec{x}\right) =\int_{c_t}\left(\overset{\bullet}{\vec{v}}+\vec{v}\cdot\bold L\right)\cdot d\vec{x}DtD(ctvdx)=ct(v+vL)dx
又,在任意时刻:
L⋅dx⃗=(v⃗▽)⋅dx⃗=(vj∣kg⃗j⊗g⃗k)⋅dxlg⃗l=vj∣kdxkg⃗j=∂v⃗∂xkdxk=dv⃗\bold L\cdot d\vec{x} =(\vec{v}\triangledown)\cdot d\vec{x} =(v^j|_k\vec{g}_j\otimes\vec{g}^k)\cdot dx^l\vec{g}_l =v^j|_kdx^k\vec{g}_j =\dfrac{\partial\vec{v}}{\partial x^k}dx^k =d\vec{v}Ldx=(v)dx=(vjkgjgk)dxlgl=vjkdxkgj=xkvdxk=dv

DDt(∫ctv⃗⋅dx⃗)=∫ctv⃗∙dx⃗+∫ctv⃗⋅dv⃗=∫ctv⃗∙dx⃗+12∫ctd(v⃗⋅v⃗)\dfrac{D}{Dt}\left(\int_{c_t}\vec{v}\cdot d\vec{x}\right) =\int_{c_t}\overset{\bullet}{\vec{v}}d\vec{x}+\int_{c_t}\vec{v}\cdot d\vec{v} =\int_{c_t}\overset{\bullet}{\vec{v}}d\vec{x}+\dfrac{1}{2}\int_{c_t} d(\vec{v}\cdot\vec{v})DtD(ctvdx)=ctvdx+ctvdv=ctvdx+21ctd(vv)
ctc_tct 为闭合曲线时,则可得到如下的环量输运定理
DDt(∮ctv⃗⋅dx⃗)=∮ctv⃗∙⋅dx⃗=∮cta⃗⋅dx⃗\dfrac{D}{Dt}\left(\oint_{c_t}\vec{v}\cdot d\vec{x}\right) =\oint_{c_t}\overset{\bullet}{\vec{v}}\cdot d\vec{x} =\oint_{c_t}{\vec{a}}\cdot d\vec{x}DtD(ctvdx)=ctvdx=ctadx
若封闭的物质曲线 ct0c_{t_0}ct0 在当前时刻变为封闭的物质曲线 ctc_tct ,并且对于任意一条封闭曲线任意时刻均有:
DDt(∮ctv⃗⋅dx⃗)=0\dfrac{D}{Dt}\left(\oint_{c_t}\vec{v}\cdot d\vec{x}\right)=0DtD(ctvdx)=0
则称该运动是环量不变的。

Kelvin 定理 若加速度 (速度) 为势的梯度,则运动为环量的梯度。

证明:由于 a⃗=▽α\vec a=\triangledown\alphaa=α,则
a⃗⋅dx⃗=∂α∂xig⃗i⋅dx⃗=∂α∂xidxi=dα{\vec{a}}\cdot d\vec{x}=\dfrac{\partial\alpha}{\partial x^i}\vec g^{i}\cdot d\vec{x}=\dfrac{\partial\alpha}{\partial x^i}dx^i=d\alphaadx=xiαgidx=xiαdxi=dα
则任意时刻沿着任意回路的积分:
∮cta⃗⋅dx⃗=0\oint_{c_t}{\vec{a}}\cdot d\vec{x}=0ctadx=0
根据环量输运定理,可知该运动环量不变,又因为速度有势时加速度也有势,故证毕。

3. 曲面上物质积分的时间变化率

DDt(∫StΦ⋅N⃗dS)=∫StDDt(Φ⋅N⃗dS)=∫St[Φ∙+(▽⋅v⃗)Φ−Φ⋅LT]⋅N⃗dS=∫St[Φ′+(Φ⊗▽)⋅v⃗+(▽⋅v⃗)Φ−Φ⋅LT]⋅N⃗dS\begin{aligned} &\quad\ \dfrac{D}{Dt}\left(\int_{S_t}\bold\Phi\cdot\vec{N}dS \right) =\int_{S_t}\dfrac{D}{Dt}\left(\bold\Phi\cdot\vec{N}dS \right)\\\\ &=\int_{S_t}[\overset{\bullet}{\bold \Phi}+(\triangledown\cdot\vec{v})\bold\Phi-\bold\Phi\cdot\bold L^T]\cdot\vec{N}dS\\\\ &=\int_{S_t}[{\bold \Phi}'+(\bold\Phi\otimes\triangledown)\cdot\vec{v}+(\triangledown\cdot\vec{v})\bold\Phi-\bold\Phi\cdot\bold L^T]\cdot\vec{N}dS \end{aligned} DtD(StΦNdS)=StDtD(ΦNdS)=St[Φ+(v)ΦΦLT]NdS=St[Φ+(Φ)v+(v)ΦΦLT]NdS
特别地,取张量场为向量 q⃗\vec{q}q,显然此时上式表示通量的时间变化率
DDt(∫Stq⃗⋅N⃗dS)=∫St[q⃗′+(q⃗⊗▽)⋅v⃗+(▽⋅v⃗)q⃗−q⃗⋅(▽⊗v⃗)]⋅N⃗dS=∫St[q⃗′+▽×(q⃗×v⃗)+(▽⋅q⃗)v⃗]⋅N⃗dS\begin{aligned} &\dfrac{D}{Dt}\left(\int_{S_t}\vec{q}\cdot\vec{N}dS \right) =\int_{S_t}[{\vec{q}}'+(\vec{q}\otimes\triangledown)\cdot\vec{v}+(\triangledown\cdot\vec{v})\vec{q}-\vec{q}\cdot(\triangledown\otimes\vec{v})]\cdot\vec{N}dS\\\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad=\int_{S_t}[{\vec{q}}'+\triangledown\times(\vec{q}\times\vec{v})+(\triangledown\cdot\vec{q})\vec{v}]\cdot\vec{N}dS \end{aligned}DtD(StqNdS)=St[q+(q)v+(v)qq(v)]NdS=St[q+×(q×v)+(q)v]NdS
上式最后一步是由于:
▽×(q⃗×v⃗)+(▽⋅q⃗)v⃗=(q⃗⊗▽)⋅v⃗+(▽⋅v⃗)q⃗−q⃗⋅(▽⊗v⃗)\triangledown\times(\vec{q}\times\vec{v})+(\triangledown\cdot\vec{q})\vec{v} =(\vec{q}\otimes\triangledown)\cdot\vec{v}+(\triangledown\cdot\vec{v})\vec{q}-\vec{q}\cdot(\triangledown\otimes\vec{v})×(q×v)+(q)v=(q)v+(v)qq(v)
由此可得出 Zorawski 准则

对于穿过每个由物质曲面 S0S_0S0 所形成的曲面 StS_tSt 上的向量流的通量 ∫Stq⃗⋅N⃗dS\int_{S_t}\vec{q}\cdot\vec{N}dSStqNdS 不随时间变化的充要条件是:
q⃗′+▽×(q⃗×v⃗)+(▽⋅q⃗)v⃗=0{\vec{q}}'+\triangledown\times(\vec{q}\times\vec{v})+(\triangledown\cdot\vec{q})\vec{v}=0q+×(q×v)+(q)v=0

4. 体积域上物质积分的时间变化率 (Reynolds 输运定理)

DDt(∫vtΦdv)=∫vtDDt(Φdv)=∫vt(Φ∙+Φv⃗⋅▽)dv=∫vt{Φ′+[(Φ▽)⋅v⃗+Φv⃗⋅▽]}dv=∫vt[Φ′+(Φ⊗v⃗)⋅▽]dv=∫vtΦ′dv+∫∂v[(Φ⊗v⃗)⋅N⃗]dS\begin{aligned} &\quad\ \dfrac{D}{Dt}\left(\int_{v_t}\bold\Phi dv \right) =\int_{v_t}\dfrac{D}{Dt}\left(\bold\Phi dv \right)\\\\ &=\int_{v_t}(\overset{\bullet}{\bold\Phi}+{\bold\Phi}\vec{v}\cdot\triangledown)dv\\\\ &=\int_{v_t}\{{\bold\Phi}'+[(\bold\Phi\triangledown)\cdot\vec{v}+{\bold\Phi}\vec{v}\cdot\triangledown]\}dv\\\\ &=\int_{v_t}[{\bold\Phi}'+({\bold\Phi}\otimes\vec{v})\cdot\triangledown]dv \\\\ &=\int_{v_t}{\bold\Phi}'dv+\int_{\partial v}[({\bold\Phi}\otimes\vec{v})\cdot\vec{N}]dS \end{aligned} DtD(vtΦdv)=vtDtD(Φdv)=vt(Φ+Φv)dv=vt{Φ+[(Φ)v+Φv]}dv=vt[Φ+(Φv)]dv=vtΦdv+v[(Φv)N]dS
上式通常称为:Reynolds 输运定理。该式的物理含义应当理解为:张量场物质积分的变化率包括两部分,一是与当前积分区域重合的固定空间区域上张量场的变化率(由于是空间导数),二是通过边界的流入率

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