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题目解析：1423. 可获得的最大点数

> Problem: 1423. 可获得的最大点数

题目描述：

你有一个整数数组 cardPoints，表示排成一行的几张卡牌的点数。你每次可以从这排卡牌的 开头或末尾 拿一张卡牌，最终你需要正好拿 k 张卡牌。目标是计算你能够拿到的 最大点数。

示例：

• 示例 1：

  • 输入：cardPoints = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 1], k = 3
  • 输出：12
  • 解释：最优选择是从右侧拿三张卡牌，点数为 1 + 6 + 5 = 12。

• 示例 2：

  • 输入：cardPoints = [2, 2, 2], k = 2
  • 输出：4
  • 解释：不管选择哪两张牌，总是 2 + 2 = 4。

• 示例 3：

  • 输入：cardPoints = [9, 7, 7, 9, 7, 7, 9], k = 7
  • 输出：55
  • 解释：所有卡牌都需要选择，所以直接将它们的和返回。

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解题思路：

方法一：正向思维（暴力法）

最直接的思路就是使用正向思维，从数组的两端开始取卡牌。我们可以从数组的开头拿一些卡牌，剩下的从末尾拿。为了找到能够获得的最大点数，尝试不同的取卡顺序，计算所有可能的组合得分。

正向思维的具体步骤：

1. 从开头拿 0 到 k 张卡牌，剩余的从末尾拿。
2. 枚举所有可能的组合，计算其点数。
3. 选择点数最大的作为结果。

虽然这个方法能解出问题，但时间复杂度是 O(k)，对于较大的 k 值，计算速度会变慢。

代码实现：

class Solution {
public:int maxScore(vector<int>& cardPoints, int k) {int n = cardPoints.size();int leftSum = 0, rightSum = 0;// 先计算最左侧k张牌的总和for (int i = 0; i < k; ++i) {leftSum += cardPoints[i];}int maxPoints = leftSum;// 逐步将左侧的卡牌移到右侧，同时更新最大得分for (int i = 0; i < k; ++i) {leftSum -= cardPoints[k - 1 - i];  // 从左侧减少一张卡牌rightSum += cardPoints[n - 1 - i]; // 从右侧增加一张卡牌maxPoints = max(maxPoints, leftSum + rightSum);}return maxPoints;}
};

复杂度分析：

• 时间复杂度：O(k)。我们需要遍历 k 次来计算所有可能的得分。
• 空间复杂度：O(1)。只使用了常量级别的额外空间。

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方法二：滑动窗口优化（逆向思维）

上面的正向思维方法虽然能够解决问题，但效率相对较低。我们可以通过逆向思维使用滑动窗口优化。

关键点：

• 我们可以将问题转化为滑动窗口问题，通过取出未选择的卡牌部分来最大化剩余部分的和。
• 具体来说，卡牌的总数为 n，我们选择的卡牌总数为 k，则有 n - k 张卡牌是不被选择的。如果能找到不被选择的 n - k 张卡牌的最小和，那么总和减去这部分卡牌和，就是我们需要的最大点数。

优化思路：

1. 首先计算卡牌的总和 totalSum。
2. 使用滑动窗口法，找出大小为 n - k 的子数组的最小和。
3. 最大点数就是 totalSum - minWindowSum。

通过这个方法，问题的复杂度从暴力解法的 O(2^k) 优化为 O(n)，大大提升了效率。

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代码实现：

class Solution {
public:int maxScore(vector<int>& cardPoints, int k) {int n = cardPoints.size();// 如果k等于数组长度，直接返回整个数组的和if (k == n) {return accumulate(cardPoints.begin(), cardPoints.end(), 0);}// 计算总点数int totalPoints = accumulate(cardPoints.begin(), cardPoints.end(), 0);// 滑动窗口的长度为n - k，找到最小的窗口和int windowSize = n - k;int currentWindowSum = accumulate(cardPoints.begin(), cardPoints.begin() + windowSize, 0);int minWindowSum = currentWindowSum;// 使用滑动窗口计算最小的窗口和for (int i = windowSize; i < n; ++i) {currentWindowSum += cardPoints[i] - cardPoints[i - windowSize];minWindowSum = min(minWindowSum, currentWindowSum);}// 最大点数为总点数减去最小的窗口和return totalPoints - minWindowSum;}
};

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复杂度分析：

• 时间复杂度：O(n)，我们只需遍历数组两次，一次用于计算总和，一次用于计算最小滑动窗口和。
• 空间复杂度：O(1)，除了存储几个辅助变量外，代码不需要额外的空间。

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