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一、AVL树的概念

二叉排序树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。
为了避免树的高度增长过快，降低二叉排序树的性能，规定在插入和删除结点时，要保证任意结点的左、右子树高度差的绝对值不超过1，将这样的二叉树称为平衡二叉树，也称AVL树。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

• 它的左右子树都是AVL树
• 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

二、AVL树的实现

1、AVL树的定义

AVL树结点的定义：

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_kv(kv),_bf(0){}AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;		// 使用三叉链方便后续处理，但要记得维护pair<K, V> _kv;					// 保存键值对int _bf;						// 平衡因子
};

2. 平衡二叉树的插入

2.1 按照二叉排序树的方式插入并更新平衡因子

AVL树就是在二叉排序树的基础上加上了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉排序树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：
(1) 按照二叉排序树的方法插入新结点
(2) 调整结点的平衡因子

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{// 先按照二叉排序树的方法进行结点插入if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while(cur){if (kv.first < cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (kv.first > cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (kv.first < parent->_kv.first){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}cur->_parent = parent;// 新结点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否// 破坏了AVL树的平衡性while (parent){/*cur插入后，parent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，parent的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：1. 如果cur插入到parent的左侧，只需给parent的平衡因子-1即可2. 如果cur插入到parent的右侧，只需给parent的平衡因子+1即可*/if (parent->_left == cur){--parent->_bf;}else{++parent->_bf;}/*此时：parent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负21. 如果parent的平衡因子为0，说明插入之前parent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足AVL树的性质，插入成功2. 如果parent的平衡因子为正负1，说明插入前parent的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此时以parent为根的树的高度增加，需要继续向上更新3. 如果parent的平衡因子为正负2，则parent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理*/if (0 == parent->_bf){break;}else if (1 == parent->_bf || -1 == parent->_bf){cur = cur->_parent;parent = parent->_parent;}else if (2 == parent->_bf || -2 == parent->_bf){// 旋转处理}else{// 如果平衡因子不是以上几种情况，说明代码逻辑错误assert(false);}}return true;
}

2.2 AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：LL平衡旋转（右旋），RR平衡旋转（左旋），LR平衡旋转（先左旋后右旋），RL平衡旋转（先右旋后左旋）

2.2.1 新节点插入较高左子树的左侧（LL平衡旋转）

上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。

在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：

1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
2. 60可能是根节点，也可能是子树
   如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
   如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树

void RotateR(Node* parent)
{// subL：parent的左孩子// subLR：parent的左孩子的右孩子，注意：该点可能不存在Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;subL->_right = parent;parent->_left = subLR;Node* ppnode = parent->_parent;		// 记录parent的父结点，用于连接新的子树parent->_parent = subL;if (subLR){subLR->_parent = parent;}if (ppnode == nullptr){_root = subL;_root->_parent = nullptr;}else {if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = subL;}else{ppnode->_right = subL;}subL->_parent = ppnode;}// 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子subL->_bf = parent->_bf = 0;
}

2.2.2 新节点插入较高右子树的右侧（RR平衡旋转）

具体实现参考右旋即可。

void RotateL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;subR->_left = parent;parent->_right = subRL;Node* ppnode = parent->_parent;		// 记录parent的父结点parent->_parent = subR;if (subRL){subRL->_parent = parent;}if (ppnode == nullptr){_root = subR;_root->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = subR;}else{ppnode->_right = subR;}subR->_parent = ppnode;}parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

2.2.3 新节点插入较高左子树的右侧（LR平衡旋转）

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新。

void RotateLR(Node* parent)
{// subL：parent的左孩子// subLR：parent的左孩子的右孩子，注意：该点可能不存在Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;// 旋转之前，保存pSubLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节点的平衡因子int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (1 == bf){subL->_bf = -1;}else if (-1 == bf){parent->_bf = 1;}
}

2.2.4 新节点插入较高右子树的左侧（RL平衡旋转）

参考右左双旋。

void RotateRL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (1 == bf){parent->_bf = -1;}else if (-1 == bf){subR->_bf = 1;}
}

2.2.5 总结

假如以parent为根的子树不平衡，即parent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑：

1. parent的平衡因子为2，说明parent的右子树高，设parent的右子树的根为subR
   当subR的平衡因子为1时，执行左单旋
   当subR的平衡因子为-1时，执行右左双旋
2. parent的平衡因子为-2，说明parent的左子树高，设parent的左子树的根为subL
   当subL的平衡因子为-1是，执行右单旋
   当subL的平衡因子为1时，执行左右双旋

旋转完成后，原parent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

3 平衡二叉树的删除（了解即可）

因为AVL树也是二叉排序树，可按照二叉排序树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，只不错与删除不同的时，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。
平衡二叉树删除操作的具体步骤：

1. 先按照二叉排序树的方式删除结点
2. 一路向上找到最小不平衡子树，找不到就结束
3. 找最小不平衡子树下，最高的儿子和孙子
4. 根据孙子的位置，调整平衡
   • 孙子在LL：右单旋
   • 孙子在RR：左单旋
   • 孙子在LR：先左旋再右旋
   • 孙子再RL：先右旋再左旋
5. 如果不平衡向上传导，继续第二步
   • 对最小不平衡子树的旋转可能导致树变矮，从而导致上层祖先不平衡

4 平衡二叉树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

1. 验证其为二叉搜索树
   如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
2. 验证其为平衡树
   • 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
   • 节点的平衡因子是否计算正确

// 求二叉树的高度
int _Height(Node* root)
{if (root == nullptr){return 0;}int leftH = _Height(root->_left);int rightH = _Height(root->_right);return leftH > rightH ? leftH + 1 : rightH + 1;
}
// 验证平衡树
bool _Isbalance(Node* root)
{if (root == nullptr){return true;}int leftH = _Height(root->_left);int rightH = _Height(root->_right);if (rightH - leftH != root->_bf){cout << root->_kv.first << "结点平衡因子异常" << endl;return false;}return rightH - leftH < 2&& _Isbalance(root->_left)&& _Isbalance(root->_right);
}

三、平衡二叉树的效率分析

在平衡二叉树上进行查找的过程与二叉排序树相同。因此，在查找过程中，进行关键字的比较次数不超过树的深度。假设以$n_h$表示深度为h的平衡二叉树中含有的最少结点数。$n_0=0,n_1=1,n_2=2$，并且有$$n_h=n_{h-2}+n_{h-1}+1$$含有n个结点的平衡二叉树的最大深度为$O(lo{g}_{2}n)$，因此平均查找效率为$O(lo{g}_{2}n)$。
但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。